第29章 亲友团援助：欧拉公式

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读读欧拉吧，他是我们所有人的导师。——皮埃尔-西蒙拉普拉斯 身为有史以来最伟大的数学家之一，欧拉的着作浩如烟海。就连冠以他的姓名的公式、定理，都远不止一两个。 但谈及联系点、线、面这些零维、一维、二维基本要素的公式，也就只能是那唯一的一条公式了。 【v-e+f=2】 具体来说：对于任意的凸多面体，亦或是被分割成若干区域的平面图，记其中顶点的数量是v、线段的个数是e、面的个数是f。则有v、e、f服从于欧拉公式【v-e+f=2】。 就以六面骰举例来说，v=8、e=12、f=6，而8-12+6=2；或者是以四面体为例，v=4、e=6、f=4，而4-6+4=2。 身为几何学最古老、最朴素的结论之一，欧拉公式反而有着最深刻的内涵。 “系统你还知道欧拉公式呢着实令人震惊。” 徐林认为抢答出欧拉公式的拉斯简直是毁人设。 {ヾ哼哼！宿主，我可是全知的妖精。怎么会有我不知道的事情。} 这飞舞到底全知在哪了徐林反正是没看出来。 “继续我们刚才的推理，审判终止之时，盘面上共有n+t个点、2t条线、4n个面。 因点线面对于欧拉公式的服从，得到关系：n+t-2t+4n=2，化简即可得知总的回合数为t=5n-2，恰符合于小四儿的推理。” “主λ好厉害啊，真是什么都知道呢！” 研习“少女的魔法”的谢四自然是把情绪价值拉满，只可惜她不能当场给徐林表演一个点满的“眼神崇拜”天赋。 {可是……宿主，这有什么用吗小四不早就知道这件事了吗} {虽然我承认你的推理是更加严丝合缝，更加高屋建瓴没错啦。} {可这不是对打破臭猫猫的耍赖一点用也没有吗} “是吗真的没有用吗”徐林揶揄地乜了一眼眼神清澈的拉普拉斯马，“你不是魔神拉普拉斯妖吗你把欧拉公式尾巴上的那个2扭曲成1，小四儿不就获胜了吗” {oっ！} {有道理啊，宿主。} {呸！我才不是魔神，我可是真理的妖精，要我说多少遍！} {我怎么可能能篡改欧拉公式这样的真理法则呢} {这都是构成世界的底层逻辑好吧。怎么可能是你说改就能改的} 拉普拉斯马鼻子里库库出着气，显然是对徐林的胡言乱语相当不满。 它都澄清多少遍了，这家伙怎么还是把自己当成诞生于谬误的魔神呢 徐林当然说的是玩笑话，他自己都不相信飞舞系统能做到这样的事。 “哎，你还真是飞舞到无药可救。” {} “欧拉公式尾巴上的系数，本来就不一定得是2。” 徐林从口袋中取出万花筒看了看，心下已经有了主意。 “不是说了嘛，欧拉公式只对平面体和凸多面体成立，对于其他的图形，那可就未必如此了。” “主λ，怎么个未必法呢”默默聆听的谢四适时地捧哏道。 徐林一边摆弄着手中的万花筒，一边说道：“假如有一个方形的柱子，它有6个面，12条棱，8个顶点，自然是满足欧拉公式的。 我们现在在柱子里打个洞，将柱子的上下两端打通，变成一个空心柱体。方便起见，假设打穿挖掉的部分也是一个方形柱体。 新的空心柱体一共有16个顶点。但计算面的个数时。需要做一个小处理，上下两端的表面都是带孔洞的环状面，这种有孔的区域不被认为是最基础的区域，需要割一刀切成长条状的基本区域才行。 为了保持良好的对称性，我们把每个方形环状区域切成四个全等的梯形，这样总共就有16个面和32条棱。 这时候欧拉公式就变成了——” {16-32+16=0！}拉普拉斯抢先回答道。 “真的诶，这确实是不满足刚才所说的欧拉公式。”谢四稍感惊奇，疑惑地追问道：“为什么非得切割上下表面的环状区域呢 如果不进行切割的话，一共就是10个面，24条棱。这时候16-24+10=2，仍然满足欧拉公式啊。” “从专业的角度来说，环状区域不满足单连通条件，并不是同胚于圆盘的基本形式。 具体来说，当你通过连一条线剪断上下表面的环状区域时，点和面的数量并没有增加，线的数量却平白增加了2。这直接导致了欧拉公式算出的结果减少了2。 可如果你这时继续用线裁剪上下两面，就比如说各自都用两条线，将环状区域剪成两个全等的直角形。点的个数没有发生变化，线的数量和刚才相比增加2，面的数量也比刚才增加2，一增一减之下，欧拉公式算得的结果保持不变。” “哦哦！原来是这样。”谢四懂了，但也没有完全懂。 {欧拉公式之中“点-线+面”得到的数被称为欧拉示性数捏。} {无非是在说凸多面体的欧拉示性数是2，而空心柱的欧拉示性数是0。} {事实上你每在实心体上打穿一个洞，都会直接导致欧拉示性数减少2。} {oo怎么样宿主，有没有对本系统的渊博才学刮目相看} 徐林并没有接妖精的自吹自擂，而是继续向谢四解释道：“所以说，我们需要扭曲的并不是欧拉公式本身，而是要去扭曲那块圆盘，让它的欧拉示性数发生改变。” 欧拉示性数实际上联系到几何学之中的一个重要概念——亏格。 什么是亏格直白地来讲就是洞的数量。 地球上没有洞，亏格就是零。甜甜圈中央有个大洞，亏格就是一。 某一款卡牌类肉鸽游戏的第三层，就有一对亏格0和亏格1拍档组成的双人boss战。 据说单从人体表面而论，男性的亏格是9，女性的亏格是10。 你问女性相较男性多出来的那个亏格在哪里哦，徐林给您建议是实践出真知。 对于一个亏格是g的几何体，其欧拉示性数恰为2-2g。从而我们可以得到亏格修正的欧拉公式为：v-e+f=2-2g。 “哦哦，主λ好厉害！居然还有这样的操作吗 可是我该怎么做呢去给那块大圆盘穿个洞吗” “单说起来有点麻烦，我估计你也搞不懂这些。小四儿你先把薛渺渺拖住，等我……啊——” 徐林话还没有说完，就和拉普拉斯马一起连人带马地摔在了地上，与谢四的通讯也忽然断了联系。 “系统你tm在搞什么飞机！” “宿主，你马死了！”