第1章 番外：奇奇怪怪的解题方法

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关于那个问题： 假设小镇中现在有100人，且这一代人都可以两两配对形成50对夫妻，算上生产力地下等因素，古代盛世孩子的存活概率大概是50%，假设每对夫妻可以生08个孩子。然后，假设天资卓越可以成为仙人的概率是0.2%，仙人可以永远存活下去，且因为仙人生命周期极其漫长，所以其生的一两个孩子可以忽略不计，问，经过漫长的时间，是否有一天，活着的人中全部都是仙人 让我们先定义一个模型。 假设o-t代表第t代的普通人口数量。第t代的所有普通人都会配对形成o-t/2对夫妻。 这里，o-t可能是奇数，也可能偶数，是奇数的时候会导致有人无法配对，所以这里，我们直接假设o-t总是偶数。 每对夫妻生小孩，令b为每对夫妻的存活小孩数量，首先，我们假设b是常数。 那么，第t代夫妻所生的存活小孩数量总数为： (o-t/2）b 每个小孩成为仙人的概率为：p=0.002，因此，成为仙人的小孩数量为：[（o-t/2）b]p 成为普通小孩的数量为：[（o-t/2）b]（1-p）。 第t代普通人在生育之后死亡，因此第t+1代的普通人口数量等于第t代夫妻所生小孩中称为普通人的数量。也就是：o-t+1=[（o-t/2）b]（1-p） 而与此同时，仙人的数量会增加，令p-t为第t代开始时仙人的数量。仙人不会死亡，且生育的小孩不计，因此p-t为递增函数，第t代中称为仙人的小孩数量会加入到仙人群体，所以： p-t+1=p-t + [（o-t/2）b]p 根据初始条件，第零代：p-0=0,o-0=100 不难看出，当o-t=0的时候，普通人数量为零，存活的所有人都是仙人。 根据o-t+1的公式：o-t+1=[（o-t/2）b]（1-p） 可以看出，这是一个线性递推的关系。 令r=[b（1-p）]/2 那么，o-t+1=ro-t 所以，o-t-t+1=ro-t-t 即：o-1=o-0r 推得：o-t=o-0rt 不难看出，当r＞1时，o-t会增长，仙人数量会增加，但普通人的数量也会增加，普通人口数量不会变为零。 当r=1时，o-t保持恒定。 当r＜1时，当t∞时，o-t0. 在我们的假设情况中，r=[b（1-p）]/2 p=0.002,所以1-p=0.998 b为每对夫妻的存活子女数。 根据题目，夫妻可能会生08个孩子，存活率为50%，则存活04个。 取其平均数2，假设平均每个夫妻有两个存活子女，那么当b=2时，r=[20.998]/2=0.998＜1,所以o-t会减少至0 当然，众所周知，人没有一半的，也不能够自我繁殖，所以，当o-t=1的时候，我们便可以认为存活的人中全部都是仙人。 借助函数计算器可得，o-t=o-0rt=1000.998t,当t=2300时，o-t=1.00056。 得出结论，阿木要等待2300代才可以实现全员仙人化。 按照古人的平均寿命35岁左右来算的话，阿木需要等230035=年才能够等到梦想实现的那一天。 八万多年。 将近三千万天。 而且，这还是最最理想的情况，因为天资卓越之人出现的概率要远远小于0.002。感觉说万里挑一都有些少了。 实际的时间可能远比这要多。 但，从理论上讲，这并非没法实现，不是吗