第26章 无解之题？两种答案！

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完成了第一道大题，许燃没有半分停留。 他就像一台冷酷的解题机器，目光平静地移向了试卷的下一部分。 第二题，一道复杂的数论题，涉及同余方程组和二次剩余。 常规解法，需要用到繁琐的中国剩余定理，并且要分十几种情况进行讨论。 许燃的解法 他在草稿纸上引入了“p-adic数”的概念，将问题转化到p-adic数域中，利用亨泽尔引理，一步就得到了通解。 过程，三行。 第三题，一道极其刁钻的代数不等式证明。 出题老师的本意，是考察学生对柯西不等式、排序不等式等多个知识点的综合运用能力。 许燃却直接在卷子上写下“设f为……构造拉格朗日函数l……” 他竟然直接用上了大学“分析数学”里才会学到的“拉格朗-日乘数法”，将一个不等式极值问题，转化为了一个多元函数求偏导的简单计算。 过程，五行。 考场内，大部分学生还在为第一题抓耳挠腮。 除了许燃，大家觉得都很忙，却没得出有把握的结果，不知道在忙啥！ 李星宇刚刚满头大汗地完成了第一题的计算，正准备松口气时—— 许燃，已经兵不血刃地杀到了最后一题。 【第四题（解答题，40分）：】 【是否存在一个n ＞ 2024的整数，使得我们可以将一个nxn的棋盘用1x4的多米诺骨牌完全覆盖若存在，请给出一个构造性的例子；若不存在，请证明。】 当许燃看到这道题时，连他自己都微微挑了下眉。 “有意思。” 这是一道组合几何与数论的交叉问题，也是这张试卷里，真正的“陷阱之王”。 它的难度，不在于计算，而在于思维的跃迁。 因为，它的标准答案，是——不存在。 这道题的设计，就是为了坑杀那些思维固化，只会埋头构造的“刷题家”。 很多学生面对这种是否存在的问题，就已经思维固化认定肯定存在！ 在错误的方向下了苦力，不可能得到正确的结果！ 你需要跳出构造的思维定式，转而用“染色法”来证明其“不可能性”。 这才是出题人想要看到的“天才的火花”。 显然这种题就是筛选做题家和天才的！ 然而，许燃的思维，再次跳出了出题人的预设。 “染色法么……可以，很标准，但不够漂亮。” 他嘴角微扬，提笔在答题纸上飞快地书写起来。 【解法一：染色证明】 【我们将nxn的棋盘用四种颜色{1， 2， 3， 4}进行染色。令坐标为的格子的颜色为+ 2+ 1。即交替染成：】 【1 3 1 3 ...】 【2 4 2 4 ...】 【1 3 1 3 ...】 【2 4 2 4 ...】 【可以发现，任何一个1x4的骨牌，无论横放还是竖放，都必然会恰好覆盖四种颜色各一个。】 【因此，若要完全覆盖，则棋盘中四种颜色的格子数量必须相等。】 【但当n为奇数时，四种颜色的格子数不可能完全相等。】 【当n为偶数时……】 许燃的笔速极快，只用了不到二十分钟，就将一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明，写满了半张答题纸。 这个答案，足以让他拿下满分。 但他停下了笔，看了一眼自己写下的证明，轻轻摇了摇头。 “太普通了。” 他拿起一张新的答题纸，在上面写下了三个大字——【解法二】。 这一次，他的思路，天马行空，完全脱离了高中竞赛的范畴。 【解法二：代数赋值法】 【我们将复数域引入棋盘。令坐标为的格子的权值为w，其中w=e=i，为四次单位根。】 【那么，整个棋盘所有格子权值的总和s =Σ w。】 【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】 【经过计算，当且仅当n是4的倍数时，s = 0。】 【而任何一个1x4的骨牌，其覆盖的四个格子的权值之和，恒为0。】 【因此，若要用1x4骨牌完全覆盖棋盘，其充要条件是整个棋盘的权值总和s=0。】 【所以，只有当n是4的倍数时，才可能被完全覆盖。】 写完这个证明，许燃才满意地点了点头。 这个解法，用代数的方法，将一个看似纯粹的组合问题，转化得干净利落。 其背后蕴含的，是“群表示论”的思想萌芽。 这种解法如果出现在大学的组合数学课堂上，都会被教授大加赞赏。 而现在，它出现在了一张高中生的竞赛答卷上。 …… “呼……呼……我日他仙人板板！” 实验中学的大门外，胖子孙磊正急得团团转，嘴里不干不净地骂着。 “这都一个半小时了，我家燃哥怎么还没出来不会是被里面的题给难住了吧” 王国栋老师也是一脸焦虑，紧紧握着一个保温杯，手背上青筋毕露。 胖子闲着也是闲着，干脆打开手机，登上了他们城关一中的校园贴吧。 【直播帖：我在龙城实验中学门口，为我燃哥守门！】 【1l（楼主-胖爷傲视群雄）：兄弟们，现场情况非常焦灼！据我目测，里面杀气冲天，怨气滚滚，估计我燃哥正在大杀四方！】 【2l（学霸爱吃回头草）：胖子你可拉倒吧，我表哥就在里面考试，刚才出来给我发消息说，第一题就快把他送走了，现在脑子还嗡嗡的。】 【3l（匿名用户）：真的假的那许燃能行吗】 【4l（楼主-胖爷傲视群雄）：放屁！你们懂个锤子！那叫凡人的哀嚎！对我燃哥来说，这不叫考试，这叫降临！他不是在写字，他是在给这帮凡夫俗子降下神谕！】 胖子的吹捧，给紧张的气氛带来了一丝莫名的喜感。 但谁都不知道，他那些看似夸张的胡言乱语，此刻，正在那座庄严的礼堂内，以一种更离谱的方式，真实上演着！ 此时，距离考试结束，还有整整一个半小时。 许燃，已经完成了全部的试题。 他将两份堪称艺术品的答卷工工整整地放在桌角。 然后，他伸了个懒腰，调整了一个舒服的姿势，靠在椅背上。 在全场考生或抓狂、或绝望、或奋笔疾书的背景音中，他缓缓地，闭上了眼睛。