第43章 思维殿堂，双人成行？

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“有限域……射影平面” 简瑶看着草稿纸上那行字，感觉自己的大脑像是被格式化了一样，一片空白。 这两个词，她都听说过。 有限域，是抽象代数里的概念，由少年天才伽罗瓦在决斗前夜匆匆写下，开创了一个全新的数学纪元。 射影平面，则是射影几何的核心，研究的是图形在中心投影下保持不变的性质。 这两个东西，在各自的领域里都如雷贯耳。 但她活了十八年，读了无数数学专着，从未想过，有人会把这两个看似风马牛不相及的概念，和“拉姆齐数”这种组合图论里的怪物联系在一起。 这就像是有人告诉你，可以用唐诗宋词的平仄格律，去解决一道量子力学的薛定谔方程。 荒谬，离谱，甚至可以说是疯狂！ “你的意思是……用代数和几何的方法，来构造一个图” 简瑶的声音里充满了不确定，她感觉自己的世界观正在被某种更强大的东西撬动，摇摇欲坠。 “更准确地说，” 许燃的笔尖，在“有限域”三个字上轻轻一点，发出清脆的“笃”声，“是用代数，去定义‘点’，用几何，去定义‘边’。” 他的话，在简瑶的脑海中轰然炸响。 她好像……抓住了一点什么。 那是一种直觉，一种天才面对更高维度智慧时，下意识的战栗与共鸣。 “坐过来。” 许燃指了指自己身边的位置，那里刚好还有一个空位。 简瑶的脸颊微微一热。 她鬼使神差地，站起身，绕过桌子，真的坐到了他的旁边。 两人靠得很近，她甚至能闻到许燃身上那股淡淡的、好闻的肥皂味，混杂着旧书页的墨香。 这让她那颗因为数学而狂热的心，莫名地多了一丝慌乱。 “你看。” 许燃没有察觉到她的异样，他的全部心神，都沉浸在即将构建的数学世界里。他就是这个世界的创世神。 “我们首先，考虑一个最简单的有限域，gf。” 他开始在纸上书写，字迹干净利落，“这里的q是一个素数的幂。 在这个域里，有q个元素，它们满足我们熟悉的加法和乘法交换律、结合律，构成一个完美的封闭世界。” 简瑶强迫自己静下心来，目光紧紧跟随着许燃的笔尖。 这些都是抽象代数的基础，她还勉强能跟上。 “现在，我们来定义一个三维向量空间v，这个空间建立在gf之上。 空间里的每一个向量，都有三个分量，而x， y， z都是gf里的元素。” 许燃的笔速不快，但每个步骤都清晰无比，带着一种不容置疑的逻辑美感。 “这个三维空间里，有多少个非零向量”他突然停笔，侧头看着简瑶，像一个考较学生的老师。 简瑶心头一跳，几乎是脱口而出：“q的立方，再减去一个零向量，q3-1个。” “很好。” 许燃赞许地点了点头，这让简瑶心里竟升起一丝小小的喜悦。 “现在，关键的一步来了。 我们在这个空间里定义一个‘等价关系’。 如果两个向量v1和v2，存在一个gf里的非零常数c，使得v1 = c v2，我们就说这两个向量是等价的。” “这……” 简瑶的眼睛猛地一亮，呼吸都急促了，“这就是在定义‘方向’！ 所有共线的非零向量，都被你归为了一类！” “完全正确！” 许燃的眼神里，流露出一丝棋逢对手的欣赏，“而这些等价类的集合，就是我们所说的‘射影平面’，记作pg。” 他抬起头，看着简瑶那因为激动而微微泛红的脸颊，那双清冷的眸子此刻亮得惊人。 “现在，你告诉我，这个射影平面里，有多少个‘点’” 这个问题，像一把火炬，彻底点燃了简瑶的思维。 她几乎不需要思考，逻辑链条在脑中自动生成、延伸、闭合！ “每个等价类里，都有q-1个互相成比例的非零向量。 所以，点的总数，就是除以……等于q2+q+1！” 当简瑶自己推导出这个数字时，她感觉自己的每一个细胞都在战栗。 一种前所未有的，通透淋漓的快感，从尾椎骨直冲天灵盖！ 太美了！ 太优雅了！ 从冰冷的代数结构中，自然而然地生长出鲜活的几何对象。 这种感觉，简直比世界上任何东西都让她着迷！ 她之前用计算机暴力求解的想法，在此刻的许燃面前，简直就像原始人挥舞着石斧，而对方，已经拿出了激光炮！ “我们有了‘点’。” 许燃的声音，像是有魔力一般，引导着她继续深入这个奇妙的新世界，“下一步，就是定义‘线’。 在射影平面中，‘线’就是通过原点的所有平面的集合。” 他没有让简瑶自己去算，而是直接在纸上写下了结论。 “可以证明，pg中，同样有q2+q+1条线。 并且，它满足两个美妙到近乎神迹的性质。” “第一，任意两条不同的线，恰好相交于一个点。” “第二，任意两个不同的点，恰好确定一条线。” “我的天……” 简瑶失声惊呼，她下意识地捂住了嘴，难以置信地看着纸上的公理。 “这……这不就是我们初中学的几何公理吗两点确定一条直线，两条直线相交于一点！” 只不过，在她们熟悉的欧几里得几何中，存在“平行线”。 而在这个由有限域构造出的奇妙射影平面里，任何两条线，都必有交点！ 没有平行！ 这是一个自洽的，完美的，没有遗憾的世界！ “没错。” 许燃的目光变得深邃，仿佛穿透了纸张，看到了宇宙的底层逻辑，“现在，最有趣的部分来了。” 他换了一支红色的笔，在那张草稿纸上，画下了一个巨大的圈，将刚刚推导出的所有内容，都圈在了里面。 “让我们来玩个游戏。假设，我们取q=5。” “那么，我们就有了一个包含 52+5+1=31个点的射影平面pg。” “现在，我们来构造一个图g。这个图的‘顶点’，就是我们射影平面里的这31个‘点’。” “那么，‘边’是什么呢” 他看着简瑶，声音不大，却敲在简瑶的心上。 简瑶的心跳，在这一刻，快到了极致。 她的大脑飞速运转，无数灵感火花碰撞，最终汇成一道光。 她死死地盯着许燃的眼睛，一个疯狂而大胆的念头，冲口而出。 “‘边’……就是……如果两个顶点（点），在射影平面的一条‘线’上，它们之间……就没有边！ 它们是‘不相邻’的！” 当她说出这句话后，整个世界，仿佛都安静了。 只剩下两颗心剧烈跳动的声音。 许燃笑了。 简瑶第一次看到他笑得如此灿烂。 像一个找到了唯一知音的孤独旅人，像一个独步武林的剑客终于遇到了能看懂他剑谱的人。 笑容欣慰，欣赏，还有一丝终于不必再独自前行的轻松。 “恭喜你，简瑶同学。” 他轻声说。 “你已经推开了，通往拉姆齐世界，那扇真正的大门。” “用几何性质来定义图的‘非相邻关系’，这本身就是一种伟大的洞察力。” 简瑶的脸“唰”的一下全红了，从脸颊一直蔓延到耳根。 这句夸奖，比她从小到大听过的所有赞美加起来，都更让她心神荡漾。 “不过，” 许燃话锋一转，“射影平面构造法，虽然优美，但对于r这个问题，还不是最锋利的那把刀。” “它更像是一个……开胃菜，让你理解这种‘代数构造图’的思想。” “什么”简瑶一愣，“这还只是开胃菜” 她感觉自己的认知再一次被刷新了。 如此精妙绝伦的构造，居然只是前戏 “嗯。” 许燃点了点头，将那张写满射影平面理论的草稿纸推到一边，又抽出一张全新的。 “射影平面的构造，会产生一种强正则图，但它的参数不符合我们r的要求。 我们需要一个更直接，更强大的工具。” 他的笔尖，在雪白的纸上，写下了几个新的字符。 图书馆里幽黄的灯光，将两人的身影拉得很长。 一张草稿纸，一支笔，两个少年。 没有说一句关于风月的话，却构建起了一个比任何情话都更令人心动的，纯粹由逻辑与智慧构成的，璀璨的数学世界。 在外人看来，那张写满天书的草稿纸，晦涩难懂。 但在简瑶的回忆里，那却是她这辈子见过的，最动人的情书！