第44章 于星辰中铸剑！

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时间，在笔尖与纸张的摩擦声中，悄然流逝。 图书馆的角落，仿佛变成了一个与世隔绝的领域，一个只属于许燃和简瑶的【思维殿堂】。 “所以，我们的图g，顶点集是pg的31个点。 两个顶点相邻，当且仅当它们在pg中‘不共线’。” 许燃迅速地做出了总结，思路清晰。 “接下来，我们要验证两个关键性质。” 他看向简瑶，“第一，这个图g中，是否存在一个k5子图，也就是‘5个顶点互相相邻’的团” 这个问题，如果用暴力去验证，对于一个31阶的图来说，无异于大海捞针。 但现在，有了代数和几何的武器，一切都变得不同。 简瑶的心思已经完全沉浸了进去。 她那天才的大脑在许燃的引导下，爆发出惊人的能量。 “等一下！” 她突然伸出手指，点在“不共线”三个字上，美眸中闪烁着激动的光芒，“如果五个顶点a，b，c，d，e构成一个k5子图，就意味着它们两两之间都‘不共线’。” “但是！” 她的语速开始加快，“在射影平面pg中，任意两个点（比如a和b）都确定一条唯一的线l_ab。那么，第三个点c，它既不能在l_ab上，也不能在l_ac上，也不能在l_ad上……” 她说到这里，突然卡住了。思路似乎走进了一条死胡同。 许燃没有直接给她答案，而是换了一种问法，像一个循循善诱的导师。 “换个角度想。我们来证明它的逆否命题。如果我们任意取出五个点，能不能证明，它们之中，必有两点是‘共线’的” 这个问题像一把钥匙，瞬间捅破了那层窗户纸！ “我明白了！”简瑶的呼吸变得急促，“我们任取五个点a，b，c，d，e。先看a，b，c三点。如果它们共线，那结论就成立了，我们找到了‘共线’的两个点（甚至三个）。” “那如果它们不共线呢”许燃追问。 “如果a，b，c不共线，那么它们就能确定三条不同的直线l_ab， l_ac， l_bc。 这三条直线，在pg中……” 简瑶一边说，一边快速地在纸上画着示意图，“……会交于a，b，c三个点。” “现在，我们放入第四个点d。 如果d在这三条线中的任意一条上，比如在l_ab上，那么a，b，d就共线，结论成立。” “如果d不在这三条线的任何一条上呢”许燃的声音带着一种引人入胜的魔力。 “那么……d和a，b，c三点，就能确定三条新的线l_ad， l_bd， l_cd。 现在我们一共有六条线了！” 简瑶感觉自己的大脑在高速燃烧，“这六条线，最多会产生c=15个交点，但很多是重合的…… 不对不对，这个思路太复杂了！” 她有些懊恼地抓了抓头发。 许燃只是安静地看着她，没有打断。他知道，这是天才在突破自我时，必经的“阵痛”。 过了足足一分钟，简瑶的眼睛，猛地亮了起来！ “是‘鸽巢原理’！” 她激动地喊了出来，声音都有些发颤，“在pg里，每一条线上，有q+1=6个点！而任何一个点，都恰好在q+1=6条线上！” “我们来看点d！” 她指着草稿纸，“通过点d，可以画出6条不同的直线！ 这6条直线，要把除了d以外的所有点都覆盖掉。” “而我们还剩下a，b，c，e四个点！不对……思路又乱了！” 看着简瑶陷入苦战，许燃终于决定，轻轻地推她一把。 “不要去数线的数量。” 他轻声说，“回到最基础的性质，两点确定一条直线。” “我们有a，b，c，d四个点，假设它们之中任意三点都不共线。 它们能确定c=6条不同的直线。” “现在，我们放入第五个点，e。” “e点，它有多少种可能的位置” “如果e落在这六条直线中的任何一条上，比如l_ab，那么e，a，b就共线了，证毕。” “如果e不落在这六条直线的任何一条上呢这可能吗” 许燃问出了最后一个，也是最关键的问题。 简瑶的大脑，如同被一道闪电劈中！ “不可能！” 她失声喊道，“pg中，任何一个点都必须在6条线上！ 如果e不在这六条线中的任何一条上，那么过e和a的直线l_ea，就是一条新的线。 过e和b的直线l_eb，也是一条新的线…… 这……这就和‘两点确定唯一一条直线’的公理矛盾了！” 她激动得脸颊通红，指着自己的推导，像个得到了糖果的孩子。 “所以，任意五个点，必然有至少三个点是共线的！ 既然有三点共线，那它们在我们的图g里，就必然不是一个k5子图！ 因为共线的点之间没有边！” “结论：我们的图g，无k5子图！” 当她得出这个结论时，一种前所未有的，巨大而纯粹的成就感，淹没了她。 这比她过去解出任何一道难题，都要快乐！ 因为这不是她一个人的胜利，这是她和许燃，两个人思想碰撞、共同铸剑的结果！ 她抬起头，看向身边那个平静的少年，美眸中，水光流转，异彩涟涟。 “下一个，证明它的独立数，不大于42……” 许燃的声音没有停歇，将她从那异样的情绪中拉了回来，带入了下一个更深邃的挑战。 “这个图，只有31个顶点，独立数怎么可能大于42” 简瑶下意识地问，随即反应过来，“哦，你说的是拉姆齐数r！ 我们现在构造出的这个图，它甚至连r的反例都算不上！” 她的思维，已经被许燃彻底带到了一个全新的高度。 许燃摇了摇头。 “这个模型，只是一个玩具。 一个让我们理解‘代数图论’思想的玩具。” “但这个思想，可以推广。” 他的笔尖，在pg的那个q上，重重一点。 “如果，我们把这个q，换成别的数字呢 比如，q=41 一个素数” “pg……它的点数是412+41+1 = 1723个！”简瑶倒吸一口凉气。 “没错，所以简单的射影平面不够。” 许燃的目光，变得如同黑洞般深邃，“我们需要更复杂的代数结构。 比如，用‘二次剩余’去定义‘相邻’关系。” 他开始在草稿纸上，写下一连串简瑶闻所未闻的概念。 【佩利图p】 “这又是什么” 简瑶感觉自己像个好奇宝宝，完全被许燃牵着鼻子走，但她心甘情愿。 “一个更纯粹的代数怪物。” 许燃的眼睛里闪着光。 “它的构造更简单粗暴。取一个素数q，并且要求q模4余1。” “图的顶点，就是有限域gf里的q个元素，从0到q-1。” “两个顶点x和y之间有没有边，只看一件事。” 他顿了顿，用红笔重重写下两个字。 “‘差值’。” “如果x-y是gf里的‘二次剩余’，那么它们之间就有边。 如果不是，就没有。” “二次剩余” 这个词简瑶知道，就是指一个数在模q的意义下，能被写成另一个数的平方。 比如在模5的意义下，1和4就是二次剩余，因为1=12=42，4=22=32。 “对。” 许燃点头，“比如，我们直接攻击r的下界，构造一个41阶的图。 取q=41，因为它是一个素数，且41=410+1。” “我们构造佩利图p。” “它的顶点，就是0， 1， 2，...， 40。” “顶点2和顶点5之间有没有边”许燃看向简瑶。 “5-2=3，我们需要判断3是不是模41的二次剩余……”简瑶迅速心算，却发现这并不容易。 “很难算，对吧” 许燃笑了笑，“但数学的美妙在于，我们不需要一个一个去算。 高斯早就为我们铺好了路。”